Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси О 1 , не проходящей через его центр тяжести. Таковым является однородный металлический стержень массой m и длиной L, подвешенный на оси О 1 , удаленной от центра масс О на величину l .

Гармонические колебания -- колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону.

Физический маятник совершает гармонические колебания , если они происходят в результате воздействия на точку силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки от положения равновесия и направленной противоположно этому смещению.

На любое реальное тело, совершающее гармонические колебания, действуют не только квазиупругая сила, но и силы трения или сопротивления, препятствующие движению.

На преодоление трения в опорах и сопротивления окружающей среды, на создание упругих деформаций, возбуждение волн и т.д. требуется энергия. Поэтому полная механическая энергия колеблющейся частицы непрерывно уменьшается, переходя в другие виды энергии в виде тепла, или рассеивается в окружающей среде. Это сразу же скажется на величине амплитуды. Она будет уменьшаться, т.е. колебания постепенно будут затухать, пока не прекратятся совсем.

Колебания называют затухающими , если убыль энергии физической системы не восполняется в процессе ее колебательного движения.

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название - осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень. Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

Общие сведения о механической системе

Формула периода колебания этого маятника была выведена голландским ученым Гюйгенсом (1629-1695 гг.). Этот современник И. Ньютона очень увлекался данной механической системой. В 1656 г. он создал первые часы с маятниковым механизмом. Они измеряли время с исключительной для тех времен точностью. Это изобретение стало важнейшим этапом в развитии физических экспериментов и практической деятельности.

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы.

Свойства маятника

Математический маятник имеет очень интересные свойства. Все они подтверждаются известными физическими законами. Период колебаний любого другого маятника зависит от разных обстоятельств, таких как размер и форма тела, расстояние между точкой подвеса и центром тяжести, распределение массы относительно данной точки. Именно поэтому определение периода висящего тела является довольно сложной задачей. Намного легче вычисляется период математического маятника, формула которого будет приведена ниже. В результате наблюдений над подобными механическими системами можно установить такие закономерности:

Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» - время, «изос» - равный).

Период математического маятника

Этот показатель представляет собой период Несмотря на сложную формулировку, сам процесс очень прост. Если длина нити математического маятника L, а ускорение свободного падения g, то эта величина равна:

Период малых собственных колебаний ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

Колебания математического маятника

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

x + ω2 sin x = 0,

где х (t) - неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω - положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g - это ускорение свободного падения, а L - длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так:

x + ω2 sin x = 0

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

x = A sin (θ 0 + ωt),

где θ 0 - начальная фаза, A - амплитуда колебания, ω - циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

где sn - синус Якоби, который для u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

где ε = E/mL2 (mL2 - энергия маятника).

Определение периода колебания нелинейного маятника осуществляется по формуле:

где Ω = π/2 * ω/2K(u), K - эллиптический интеграл, π - 3,14.

Движение маятника по сепаратрисе

Сепаратрисой называют траекторию динамической системы, у которой двумерное фазовое пространство. Математический маятник движется по ней непериодически. В бесконечно дальнем моменте времени он падает из крайнего верхнего положения в сторону с нулевой скоростью, затем постепенно набирает ее. В конечном итоге он останавливается, вернувшись в исходное положение.

Если амплитуда колебаний маятника приближается к числу π , это говорит о том, что движение на фазовой плоскости приближается к сепаратрисе. В этом случае под действием малой вынуждающей периодической силы механическая система проявляет хаотическое поведение.

При отклонении математического маятника от положения равновесия с некоторым углом φ возникает касательная силы тяжести Fτ = -mg sin φ. Знак «минус» означает, что эта касательная составляющая направляется в противоположную от отклонения маятника сторону. При обозначении через x смещения маятника по дуге окружности с радиусом L его угловое смещение равняется φ = x/L. Второй закон предназначенный для проекций и силы, даст искомое значение:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Исходя из этого соотношения, видно, что этот маятник представляет собой нелинейную систему, поскольку сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия, всегда пропорциональна не смещению x, а sin x/L.

Только тогда, когда математический маятник осуществляет малые колебания, он является гармоническим осциллятором. Иными словами, он становится механической системой, способной выполнять гармонические колебания. Такое приближение практически справедливо для углов в 15-20°. Колебания маятника с большими амплитудами не является гармоническим.

Закон Ньютона для малых колебаний маятника

Если данная механическая система выполняет малые колебания, 2-й закон Ньютона будет выглядеть таким образом:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Исходя из этого, можно заключить, что математического маятника пропорционально его смещению со знаком «минус». Это и является условием, благодаря которому система становится гармоническим осциллятором. Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением равняется квадрату круговой частоты:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Эта формула отражает собственную частоту малых колебаний этого вида маятника. Исходя из этого,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Вычисления на основе закона сохранения энергии

Свойства маятника можно описать и при помощи закона сохранения энергии. При этом следует учитывать, что маятника в поле тяжести равняется:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Полная равняется кинетической или максимальной потенциальной: Epmax = Ekmsx = E

После того как будет записан закон сохранения энергии, берут производную от правой и левой частей уравнения:

Поскольку производная от постоянных величин равняется 0, то (Ep + Ek)" = 0. Производная суммы равняется сумме производных:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/2*2v*v" = mv* α,

следовательно:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Исходя из последней формулы находим: α = - g/L*x.

Практическое применение математического маятника

Ускорение изменяется с географической широтой, поскольку плотность земной коры по всей планете не одинакова. Там, где залегают породы с большей плотностью, оно будет несколько выше. Ускорение математического маятника нередко применяют для геологоразведки. В его помощью ищут различные полезные ископаемые. Просто подсчитав количество колебаний маятника, можно обнаружить в недрах Земли каменный уголь или руду. Это связано с тем, что такие ископаемые имеют плотность и массу больше, чем лежащие под ними рыхлые горные породы.

Математическим маятником пользовались такие выдающиеся ученые, как Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед. Многие из них верили в то, что эта механическая система может влиять на судьбу и жизнь человека. Архимед использовал математический маятник при своих вычислениях. В наше время многие оккультисты и экстрасенсы пользуются этой механической системой для осуществления своих пророчеств или поиска пропавших людей.

Известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события. Во время Второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии. Свою работу с маятником сотрудники этого заведения называют «радиэстезией».

В природе и технике широко распространены колебания, называемые гармоническими.

Гармоническими являются колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению.

Вы уже знаете, что под действием такой силы происходят колебания пружинного маятника, поэтому при определённых условиях они могут служить примером гармонических колебаний (в частности, при условии, что на них не оказывает заметного влияния сила трения).

С помощью опыта, изображённого на рисунке 63, выясним, по какому закону меняется с течением времени координата колеблющегося пружинного маятника и как выглядит график этой зависимости.

Рис. 63. Опыт по исследованию зависимости от времени координаты пружинного маятника, совершающего колебания

В данном опыте в качестве груза берут какой-нибудь небольшой массивный сосуд с маленьким отверстием снизу (например, воронку), а под него кладут длинную бумажную ленту. Сосуд с предварительно насыпанным в него песком (или налитой красящей жидкостью) приводят в колебательное движение. Если ленту перемещать с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, то на ней останется волнообразная дорожка из песка, каждая точка которой соответствует положению колеблющегося груза в тот момент, когда он проходил над ней.

На рисунке 64 показан вид полученной кривой. Она называется косинусоидой (из курса математики старших классов вы узнаете о том, что аналогичные графики имеют функции типа у = sin х и у = cos x при переменной х). Через точки, соответствующие положению равновесия маятника, проведена ось времени t, а перпендикулярно ей - ось смещения х.

Рис. 64. График зависимости координаты колеблющегося пружинного маятника от времени

Из графика видно, что наибольшие отклонения груза от положения равновесия в обе стороны одинаковы по модулю и равны амплитуде колебаний А.

Маятник начал движение из крайней точки с координатой х = А. За время, равное периоду Т, маятник совершил полное колебание, т. е., миновав положение равновесия, дошёл до противоположной крайней точки с координатой х = -А, на мгновение задержался в ней, изменив направление скорости на противоположное, затем пошёл в обратном направлении и, вторично пройдя через положение равновесия, вернулся в то же самое место, откуда начал движение. Затем начинается следующее колебание и т. д.

Если в ходе опыта был измерен промежуток времени t, за который маятник совершил показанные на графике колебания, то можно определить их период Т, разделив это время на число колебаний: Т = t/N . Зная период, можно найти частоту колебаний: v = 1/T.

График даёт возможность приблизительно определить координату груза в любой момент времени. Например, через ⅓Т от момента начала первого колебания груз находился в точке с координатой x 1 .

Если график зависимости координаты от времени какого-нибудь тела представляет собой синусоиду (косинусоиду), т. е. если координата меняется со временем по закону синуса (косинуса), то в этом случае говорят, что и координата, и само тело совершают гармонические колебания.

• Периодические изменения во времени физической величины, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями

На рисунке 65 изображён опыт, аналогичный рассмотренному выше, только для нитяного маятника. С помощью этого опыта можно показать, что и для нитяного маятника график зависимости координаты от времени тоже представляет собой синусоиду, т. е. что его колебания являются гармоническими.

Рис. 65. Гармонические колебания нитяного маятника

Теоретически колебания нитяного маятника были бы строго гармоническими в том случае, если бы он представлял собой материальную точку, колеблющуюся без трения с малой амплитудой 1 при не меняющемся со временем расстоянии от неё до точки подвеса. (Можно доказать, что только при этих условиях сила, возвращающая точку в положение равновесия, будет прямо пропорциональна смещению, вследствие чего колебания будут происходить по гармоническому закону, т. е. по закону изменения синуса или косинуса.)

• Материальная точка, колеблющаяся на не меняющемся со временем расстоянии от точки подвеса, называется математическим маятником

Математический маятник - это абстрактная модель, реально таких маятников не бывает.

Практически колебания, близкие к гармоническим, совершает тяжёлый шарик (например, стальной), подвешенный на лёгкой и малорастяжимой нити, длина которой значительно больше диаметра этого шарика, при малой амплитуде и малом трении.

При совершении телом гармонических колебаний не только его координата, но и такие величины, как сила, ускорение, скорость, тоже изменяются по закону синуса или косинуса. Это следует из известных вам законов и формул, в которых указанные величины попарно связаны прямо пропорциональной зависимостью, например F x = -kx (закон Гука), а х = F x /m (второй закон Ньютона). Из этих формул следует, что сила и ускорение достигают наибольших значений, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение наиболее велико, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Значит, колебательное движение вблизи среднего положения тела наиболее близко к равномерному, а вблизи крайних положений сильно отличается от равномерного движения. Скорость же, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия достигает наибольшего значения.

Вопросы

• По рисунку 63 расскажите о цели, порядке выполнения и результатах изображённого опыта.
• Чему соответствуют отрезки ОА и ОТ на графике (см. рис. 64)?
• Какие колебания называются гармоническими?
• Что можно показать с помощью опыта, изображённого на рисунке 65?
• Что называется математическим маятником?
• При каких условиях реальный нитяной маятник будет совершать колебания, близкие к гармоническим?
• Как меняются действующая на тело сила, его ускорение и скорость при совершении им гармонических колебаний?

1 Напомним, что под малой подразумевается такая амплитуда, при которой траекторию движения маятника можно считать прямолинейной. Числовое значение амплитуды, удовлетворяющее этому условию, зависит от точности результата, требуемой в решаемой задаче. В большинстве практических задач малой можно считать амплитуду, если угол отклонения не превышает 8°.

1.При каких условиях материальная точка движется равномерно и прямолинейно? 2.Справедлив ли закон Ньютона для произвольного тела или только для

материальной точки?

3.Какие условия необходимы, чтобы тело двигалось с постоянным ускорением?

1. Первый закон Ньютона?

2. Какие системы отсчета являются инерциальными и неинерциальными? Приведите примеры.
3. В чем состоит свойство тел, называемое инертностью? Какой величиной характеризуется инертность?
4. Какова связь между массами тел и модулями ускорений, которые они получают при взаимодействии?
5. Что такое сила и чем она характеризуется?
6. Формулировка 2 закона Ньютона? Какова его математическая запись?
7. Как формулируется 2 закон Ньютона в импульсной форме? Его математическая запись?
8. Что такое 1 Ньютон?
9. Как движется тело, если к нему приложена сила постоянная по модулю и направлению? Как направлено ускорение, вызванное действующей на него силой?
10. Как определяется равнодействующая сил?
11. Как формулируется и записывается 3 закон Ньютона?
12. Как направлены ускорения, взаимодействующих между собой тел?
13. Приведите примеры проявления 3 закона Ньютона.
14. Каковы границы применимости всех законов Ньютона?
15. Почему мы можем считать Землю инерциальной системой отсчета, если она двигается с центростремительным ускорением?
16. Что такое деформация, какие виды деформации вы знаете?
17. Какая сила называется силой упругости? Какова природа этой силы?
18. Каковы особенности силы упругости?
19. Как направлена сила упругости (сила реакции опоры, сила натяжения нити?)
20. Как формулируется и записывается закон Гука? Каковы его границы применимости? Постройте график, иллюстрирующий закон Гука.
21. Как формулируется и записывается закон Всемирного тяготения, когда он применим?
22. Опишите опыты, по определению значения гравитационной постоянной?
23. Чему равна гравитационная постоянная, каков ее физический смысл?
24. Зависит ли работа силы тяготения от формы траектории? Чему равна работа силы тяжести по замкнутому контуру?
25. Зависит ли работа силы упругости от формы траектории?
26. Что вы знаете о силе тяжести?
27. Как вычисляется ускорение свободного падения на Земле и других планетах?
28. Что такое первая космическая скорость? Как ее вычисляют?
29. Что называют свободным падением? Зависит ли ускорение свободного падения от массы тела?
30. Опишите опыт Галилео Галилея, доказывающий, что все тела в вакууме падают с одинаковым ускорением.
31. Какая сила называется силой трения? Виды сил трения?
32. Как вычисляют силу трения скольжения и качения?
33. Когда возникает сила трения покоя? Чему она равна?
34. Зависит ли сила трения скольжения от площади соприкасающихся поверхностей?
35. От каких параметров зависит сила трения скольжения?
36. От чего зависит сила сопротивления движению тела в жидкостях и газах?
37. Что называют весом тела? В чем заключается различие между весом тела и силой тяжести, действующей на тело?
38. В каком случае вес тела численно равен модулю силы тяжести?
39. Что такое невесомость? Что такое перегрузка?
40. Как вычислить вес тела при его ускоренном движении? Изменяется ли вес тела, если оно движется по неподвижной горизонтальной плоскости с ускорением?
41. как изменяется вес тела при его движении по выпуклой и вогнутой части окружности?
42. Каков алгоритм решения задач при движении тела под действием нескольких сил?
43. Какая сила называется Силой Архимеда или выталкивающей силой? От каких параметров зависит эта сила?
44. По каким формулам можно вычислить силу Архимеда?
45. При каких условиях тело, находящееся в жидкости плавает, тонет, всплывает?
46. Как зависит глубина погружения в жидкость плавающего тела от его плотности?
47. Почему воздушные шары наполняют водородом, гелием или горячим воздухом?
48. Объясните влияние вращения Земли вокруг своей оси на значение ускорения свободного падения.
49. Как изменяется значение силы тяжести при: а) удалении тела от поверхности Земли, Б) при движении тела вдоль меридиана, параллели

Исследовательская работа «Период нитяного маятника» ученика 8 класса (2005-2006 уч.год) Долгова Евгения выполнена под руководством учителя физики Комлевой Т.Г.

2-е место в районной конференции «Юные исследователи»;

Поощрительный приз на седьмой региональной конференции школьников «Юные исследователи – российской науке и технике»(ТПУ),

Диплом участника научной конференции школьников «Математическое и физическое моделирование задач естествознания» (ТГУ)

Период нитяного маятника
Содержание

Введение

1. Маятник – это не только в часах

3. Изучение зависимости колебаний маятника от массы

колеблющегося тела, длины нити и величины начального отклонения маятника

4. Изучение зависимости колебаний маятника от других факторов

Заключение

Литература
Введение

В этом году, изучая тему «Механические колебания», мы рассматривали колебательные движения на примере двух маятников – нитяного и пружинного. Узнали, какими основными физическими величинами характеризуется колебательное движение: периодом, частотой и амплитудой. Формулы периодов были даны без выводов, без объяснений, почему такая зависимость от длины и ускорения свободного падения, например, для нитяного маятника. В связи с этим возникла проблема исследования: экспериментально провести опыты, позволяющие убедиться в справедливости формулы периода нитяного или математического маятника. Отсюда вытекает тема исследования: «Период нитяного маятника».

Объект исследования : различные маятники.

Цель исследования : изучить теоретические основы колебательного движения, провести серию опытов и измерений, выявляющих, от чего и как зависит, период нитяного маятника.

Задачи исследования:

1. 
   Изучить учебную литературу о колебаниях.
2. 
   Изучить методику проведения экспериментов.
3. 
   Провести эксперименты и сделать выводы.

Элементы новизны нашей работы заключаются в том, что мы не просто проверили, что период зависит от длины и ускорения свободного падения, но и убедились в том, что квадрат периода пропорционален длине нити. Вывели период через период обращения по окружности. А также проверили, меняется ли период маятника в воде.

Этапы исследования:

1. 
   Сентябрь-октябрь2005 г. Изучение и анализ литературы по этой теме.
2. 
   Ноябрь 2005 г. Создание модели проведения экспериментов.
3. 
   Декабрь 2005 г. Проведение экспериментов.
4. 
   Январь 2006 г. Систематизация работы
5. 
   Февраль 2006 г. Подбор наглядного материала. Написание работы.

База исследования.

Исследования проводились в Итатской средней школе № 2 с. Томское.

Было проведено около 20 опытов.

С колебательными явлениями встречаешься буквально на каждом шагу. Это и качание веток деревьев, и волны на воде, и детали различных машин, совершающие колебательные движения, и, наконец, колебания воздуха при разговоре. Фабричные трубы и высокие здания колеблются под действием ветра, подобно полотну ножовки, зажатому одним концом в тисках. Правда, такие колебания не так уж велики. Амплитуда колебаний вершины Эйфелевой башни в Париже (высотой 300 метров) при сильном ветре около 50 сантиметров. Существуют еще и электромагнитные колебания, радиоволны

Колебания бывают полезные и вредные. К полезным колебаниям относятся колебания маятника в часах, колебания струн или воздуха в музыкальных инструментах и все виды колебаний, используемых в науке и технике.

А вредные колебания – это, например, такие, которые из-за резонанса грозят разрушить сооружения или фундаменты машин, приводят в негодное состояние отдельные детали механизмов. К вредным колебаниям относится и такое природное явление, как землетрясения, причиняющее порой большие разрушения.

Колебания играют огромную роль в жизни человека. Без знания законов колебаний нельзя было бы создать радио, телевидение, многие современные устройства и машины.
2. Нитяной или математический маятник

Колебания! Наш взгляд падает на маятник стенных часов. Неугомонно спешит он то в одну, то в другую сторону, своими ударами как бы разбивая поток времени на точно размеренные отрезки. «Раз-два, раз-два», - невольно повторяем мы в такт его тиканию.

Отвес и маятник, – простейшие из всех приборов, какими пользуется наука. Тем удивительнее, что столь примитивными орудиями добыты поистине сказочные результаты: человеку удалось, благодаря им, проникнуть мысленно в недра Земли, узнать, что делается в десятках километров под нашими ногами.

Качание влево и обратно вправо, в исходное положение, составляет полное колебание маятника, а время одного полного колебания называют периодом колебания. Число колебаний тела в секунду называется частотой колебания. Маятник – это тело, подвешенное на нити, другой конец которой закреплен. Если длина нити велика по сравнению с размерами подвешенного на ней тела, а масса нити ничтожно мала сравнительно с массой тела, то такой маятник называют математическим или нитяным маятником. Практически маленький тяжелый шарик, подвешенный на легкой длинной нити, можно считать нитяным маятником.

Период колебаний маятника выражается формулой:
Т = 2π √ l / g

Из формулы видно, что период колебаний маятника не зависит от массы груза, амплитуды колебаний, что особенно удивительно. Ведь при различных амплитудах колеблющееся тело за одно колебание проходит разные пути, но время на это тратит всегда одно и то же. Продолжительность качания маятника зависит от длины его и ускорения свободного падения.

В своей работе мы и решили проверить экспериментально, что период не зависит от других факторов и убедиться в справедливости этой формулы.
3. Изучение зависимости колебаний маятника от массы колеблющегося тела, длины нити и величины начального отклонения маятника.
Исследование 1.

Приборы и материалы : секундомер, мерная лента, маятник (грузик на нити), крепление для маятника.

Измерили период колебаний маятника сначала для массы тела 10 г и угла отклонения 20°, меняя при этом длину нити.

Затем измерили период маятника при массе 20 г и угле отклонения 20°, изменяя длину нити. Также измерили период, увеличив угол отклонения до 40°, при массе 20 г и разной длине нити. Результаты измерений занесли в таблицу 1.

Таблица 1.

№	Длина нити l, м.	Масса маятни ка, кг	Угол отклоне ния	Число колебаний N	Полное время t. c	Период T. c	Квадрат периода T 2
1	0,2	0,01	20	20	17	0.85	0,72
2	0,4	0,01	20	20	25	1,25	1,56
3	0,6	0,01	20	20	30	1,5	2,25
4	0,8	0,01	20	20	37	1,85	3,42
5	1	0,01	20	20	40	2	4
6	0,4	0,02	20	20	26	1,3	1,69
7	0,6	0,02	20	20	32	1,6	2,56
8	0,4	0,02	40	20	27	1,35	1,8
9	0,6	0,02	40	20	31	1,55	2,4

Из опытов мы убедились, что период действительно не зависит от массы маятника и угла отклонения его, но с увеличением длины нити маятника период его колебания возрастет, но не пропорционально длине, а более сложно. Результаты опытов приведены в таблице. Построили график. Как видно, функция T = f (l ) нелинейная, т.е. период не пропорционален длине нити l . Потом мы нашли квадраты периодов при разных значениях длины нити и построили соответствующий график. Как видно, все экспериментальные точки легли вблизи прямой.

Это позволяет сформулировать закон: квадрат периода колебания маятника пропорционален длине его нити: T 2 = ql . Или же этот закон можно сформулировать и так:

период колебания маятника пропорционален корню квадратному из длины его нити:

T=k √ l

Для выяснения характера зависимости периода колебаний маятника от его длины и ускорения свободного падения мы проделали опыт, заставив маятник двигаться по окружности. Определив период обращения маятника, обнаружили, что он равен периоду колебаний этого маятника:

Т об = Т кол = Т.

Период обращения конического вычислили – он равен длине описываемой шариком окружности, деленной на линейную скорость:

Т = 2 π R / υ

Так как шарик движется по окружности, то на него действует центростремительная сила F = m υ 2 / R , откуда υ = √ F R / m

Центростремительная сила может быть найдена геометрическим способом – в треугольниках ОВС и В D Е сходственные стороны пропорциональны: ВЕ: Е D = ОВ: СВ , или F : mg = R : l , откуда

F = mgR / l . Подставив значение центростремительной силы в формулу линейной скорости, получим υ = R √ g / l .

А подставив значение линейной скорости в формулу периода, нашли, что

Т = 2 π √ l / g

Итак, период колебаний математического маятника зависит только от длины маятника l и от ускорения свободного падения g .

4. Изучение зависимости колебаний от других факторов.
Исследование 2.

Приборы и материалы : маятник, магнит, секундомер.

Под маятник с железным грузом положили магнит и проверили как изменится период маятника. Результаты занесли в таблицу 2.

Таблица 2.

№	Длина нити l, м.	Масса маятни ка, кг	Угол отклоне ния	Число колебаний N	Полное время t. c	Период T. c
1.	0,4	0,02	20	20	24	1,2
2.	0,6	0,02	20	20	30	1,5

Сравнивая первое исследование с этим (оно отличается только тем, что положили магнит), видим, что период маятника немного уменьшился. Поднесение магнита равносильно увеличению земного притяжения т. е. период зависит от ускорения свободного падения. Потому маятник находит важное применение в геологической разведке. В тех местах на Земле, где залегают породы, плотность которых отличается от средней плотности Земли, значение ускорения свободного падения может отличаться. Измеряя с помощью маятника значение ускорения свободного падения, можно обнаружить такие залежи.

g = 4 π 2 l / Т 2
Исследование 3.

Приборы и материалы : нить, два грузика с крючками, секундомер, мерная лента.

Период не зависит от массы подвешенного груза. Мы решили проверить: одинаков ли будет период колебаний, если к одной и той же нити подвесить сначала один, а потом два соединенных последовательно крючками грузика?

Результаты занесли в таблицу 3.

Таблица 3.

№	Длина нити l, м.	Масса маятни ка, кг	Угол отклоне ния	Число колебаний N	Полное время t. c	Период T. c
1.	0,6	0,01	20	20	31	1,5
2.	0,6	0,02	20	20	32	1,6

Вывод: период не зависит от того, если подвесить два груза один под одним.
5. Маятник в воде

В работе мы также решили проверить, как влияет среда на колебания. Измерили время, за которое колебания затухают в воздухе, а затем опустили маятник в воду и снова измерили период его колебаний и время затухания.

Результаты занесли в таблицу 4.
Таблица 4.

№	Длина нити l, м.	Масса маятни ка, кг	Угол отклоне ния	Число колебаний N	Полное время t. c	Время затухания
1	0,6	0,01	20	(воздух) 76	120	6 минут
2	0,6	0,02	20	(вода) 1	2 сек.	2 сек.

Так как маятник качается в малосопротивляющейся среде, то, казалось бы, нет причины, которая могла бы заметно изменить скорость его качания. Между тем опыт показывает, что маятник в таких условиях качается медленнее (практически не качается), чем это может быть объяснено сопротивлением среды.

Это загадочное на первый взгляд явление объясняется выталкивающим действием воды на погруженные в нее тела. Оно как бы уменьшает вес маятника, не изменяя его массы. Значит, маятник в воде находится совершенно в таких же условиях, как бы он был перенесен на другую планету, где ускорение силы тяжести слабее. Отсюда следует, что с уменьшением ускорения силы тяжести время колебания должно возрасти: маятник будет колебаться медленнее.

Заключение

Проведенные исследования позволили:

Расширить и углубить мои знания о колебательном движении, в частности; о колебаниях нитяного маятника;

Убедиться в справедливости формулы периода маятника;

Осмыслить, что опыт подтверждает теорию и что любая теория нуждается в экспериментальной проверке;

Усовершенствовать навыки выполнения физических экспериментов

Практическая значимость данной работы заключается в том, что ее можно использовать на уроках физики при изучении данной темы, спецкурсах.

Особенностью данной работы является то, что для ее проведения не требуется сложного лабораторного оборудования, а маятники можно изготовить самому.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Блудов М.И., Беседы по физике. М.: Просвещение, 1973.
2. 
   Кабардин О.Ф., Факутальтивный курс физики 8 класс. М.: Просвещение, 1973.
3. 
   Перельман Я. И., Знаете ли вы физику? Домодедово «ВАП», 1994.
4. 
   Пинский А.А., Физика и астрономия. М.: Просвещение, 1993.
5. 
   Рабиза Ф., Простые опыты. М.: Детская литература 2002.